Exinde liquet nullum esse hunc motum nodi, ubi sin. LG = 0, vel etiam ubi _pu_ = _qs_, quod contingit ubi orbitæ lunaris arcus GN eclipticam et æquatorem æqualis est 90°, sive ubi nodi lunares versantur in punctis declinationis lunaris maximæ, sive ubi arcus AG, cujus cosinus est _u_, evadit æqualis 78° 5´, id est, ubi nodus ascendens lunæ versatur in 11° 55´ Cancri, vel 18° 5´ Sagittarii. Eritque progressivus hic motus, id est, fiet secundum seriem signorum, dum nodus ascendens lunæ transit retrocedendo ab 18° 5´ Sagittarii ad 11° 55´ Cancri, regressivus autem in reliquâ parte revolutionis; et maximus evadit motus regressivus, ubi _u_ = -1, id est, ubi nodus ascendens versatur in principio Arietis; et maximus progressivus, ubi _u_ = 1, id est, ubi idem nodus occupat initium Libræ. Itaque cùm motus ille nodorum annuus, de quo hîc agitur, universaliter sit æqualis (3_bcq_ ⁄ 5_l_²) × ((_pu_ - _qs_) ⁄ _s_) × (S ⁄ L) × 360°, hoc est, per Coroll. Prop. 2. æqualis 11´´ ½ × ((_pu_ - _qs_) ⁄ _s_) vel 15´´ × ((_pu_ - _qs_) ⁄ _s_) prout differentia semiaxium terræ fuerit ¹⁄₂₂₉ vel ¹⁄₁₇₇, existentibus scilicet _p_ sinu et _q_ cosinu anguli 23° 28´ ½, atque _s_ sinu anguli 5° 8´ ½; eo anno, in cujus medio circiter nodus lunæ ascendens tenuerit principium Arietis, motus nodorum regressivus, qui et maximus, erit 1´ 2´´ vel 1´ 20´´; ubi verò idem nodus subierit signum Libræ, motus maximus progressivus erit 41´´ vel 53´´. In aliis nodorum positionibus eodem modo computabitur. COROLL. II. Si desideretur excessus regressûs nodi supra progressum in integrâ nodi revolutione, sequenti ratione investigabitur. Jungantur equinoctia diametro EA, in quam demittatur perpendiculum GK, et sumpto arcu G_h_ quem describit nodus eclipticus G quo tempore nodus equatorius N describit arcum N_n_, ducatur _hc_ perpendicularis in GK. Per hanc propositionem est G_g_. N_n_∷ ((_pu_ - _qs_) ⁄ _s_). 1, sive, quia est 1. _u_ ∷ G_h_. G_c_, fit G_g_. N_n_∷ ((_p_ × G_c_) ⁄ _s_) - _q_ × G_h_. G_h_; adeoque summa omnium G_g_ erit ad summam omnium N_n_, hoc est, motus nodi ecliptici in integrâ sui revolutione erit ad motum nodi æquatorii eodem tempore factum, ut summa omnium in circulo quantitatum ((_p_ × G_c_) ⁄ _s_) - _q_ × G_h_ ad summam totidem arcuum G_h_, hoc est, ut - _q_ ad 1. Signum autem--denotat motum fieri in antecedentia sive regressum nodi excedere ejusdem progressum. Unde cum motus nodi æquatorii N fit 11´´ ½ vel 15´´ quo tempore nodus eclipticus describit 19° 20´ ½, motus ille nodi æquatorii tempore nodi ecliptici periodico evadit 11´´ ½ × (360° ⁄ 19° 20´ ½) = 3´ 34´´ vel 15´´ × (360° ⁄ 19° 20´ ½) = 4´ 39´´; quo pacto prodit motus nodi ecliptici præfatus æqualis _q_ × 3´ 34´´ vel _q_ × 4´ 39´´, proindeque _est radius ad cosinum obliquitatis eclipticæ ut_ 3´ 34´´ _vel_ 4´ 39´´ _ad motum quæsitum_, nempe 3´ 16´´, existente ¹⁄₂₂₉ differentiâ axium terræ, vel 4´ 16´´ eâ existente ¹⁄₁₇₇: atque hic est excessus regressûs nodi supra progressum