Wechselwinkel: innere, äussere, korrespondierende. * * * * * Wenn zwei Linien gegen eine dritte eine solche Lage haben, dass die inneren Wechselwinkel gleich sind, so sind die Linien parallel. In jedem Dreieck ist die Summe aller Winkel gleich zwei rechten. Ein Dreieck kann also[8] nur einen rechten oder nur einen stumpfen Winkel enthalten; die beiden andern müssen alsdann[9] spitz sein. Der Aussenwinkel am Dreieck ist gleich der Summe der beiden innern gegenüber liegenden Winkel. Unter Aussenwinkel ist derjenige gemeint, den die Verlängerung einer Seite mit der daran stossenden[10] bildet. 6. Der Kreis ist eine[1] von einer krummen Linie so begrenzte ebene Figur, dass alle ihre Punkte von einem innerhalb liegenden Punkte, den man Mittelpunkt oder Centrum (Zentrum) nennt, gleich weit entfernt sind. Die[2] vom Mittelpunkt des Kreises auf eine Sehne[3] gefällte Senkrechte halbiert die Sehne und den dazu gehörigen[4] Bogen. _Aufgabe._ Durch 3 ganz beliebig[5] gegebene, jedoch nicht in gerader Linie liegende Punkte A, B, C, einen Kreis zu beschreiben. _Auflösung._ Man verbinde zwei und zwei Punkte AB und BC, so kann man die Linien AB und BC als Sehnen des zu beschreibenden Kreises betrachten. Errichtet man also auf deren Mittel Perpendikel, so muss jedes derselben durch den gesuchten Mittelpunkt gehen. Der Centriwinkel[6] ist immer doppelt so gross als der auf demselben Bogen stehende Peripheriewinkel[7]. Jeder Winkel im Halbkreise ist ein rechter Winkel. * * * * * In jedem Parallelogramm sind die gegenüber liegenden Seiten und Winkel einander gleich, und eine Diagonale teilt es in zwei kongruente Dreiecke. Parallelogramme von gleicher Grundlinie und Höhe sind inhaltsgleich.[8] Der Inhalt eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt aus Grundlinie und Höhe. DER PYTHAGORAEISCHE LEHRSATZ. [Illustration] _Der Pythagoräische Lehrsatz._ In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse so gross wie die Quadrate der beiden Katheten[9] zusammengenommen. _Beweis._ Sei[10] CAB ein bei A rechtwinkliges Dreieck, und seien über seinen drei Seiten Quadrate errichtet, so soll die Fläche des auf der Hypotenuse BC stehenden Quadrats allein so gross sein wie die Flächen der[11] beiden auf den Katheten AC und AB stehenden Quadrate zusammengenommen. Aus dem Scheitel A des rechten Winkels sei AL parallel zu CH gezogen, so ist dadurch das Quadrat der Hypotenuse in zwei Rechtecke CHLK und LKBJ geteilt, und es lässt[12] sich nun zeigen, dass jedes der beiden Rechtecke seinem benachbarten Quadrate an Inhalt gleich ist. Zieht man nämlich noch die Hülfslinien[13] AJ und CG, so haben die beiden Dreiecke ABJ und CBG zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel gleich, nämlich JB=CB. (Man denke sich das Dreieck CBG um den Punkt B gedreht, so fällt der Punkt C auf J und G auf A.)