Das Dreieck ABJ hat nun mit dem Rechteck LKBJ einerlei Grundlinie BJ und gleiche Höhe KB; ebenso haben das Dreieck CBG und das Quadrat ABGF einerlei Grundlinie BG und gleiche Höhe AB, daher: Dreieck ABJ=1/2 Rechteck KBJL und CBG=1/2 Quadrat ABGF. Da nun die beiden Dreiecke ABJ und CBG gleich gross sind, so ist auch 1/2 Rechteck KBJL=1/2 Quadrat ABGF, also auch das ganze Rechteck so gross wie das ganze Quadrat. Ebenso zeigt man an der andern Seite, indem man[14] die Hülfslinien AH und BD zieht, dass auch das Rechteck CHLK dem Quadrat ACDE an Fläche gleich ist, und folglich auch beide Rechtecke zusammen, d. i.[15] das Quadrat der Hypotenuse, so gross ist, wie die Summe der Quadrate der beiden Katheten. _Zusatz._ Das Quadrat der einen Kathete ist so gross wie das Quadrat der Hypotenuse weniger dem Quadrat der andern Kathete. 7. _Parallellinien._ Zwei gerade Linien, welche in einerlei Ebene liegen und nach keiner Seite hin[1] zusammentreffen, wie weit[2] man sie auch verlängert denken mag, heissen parallel (gleichlaufend[3]). Wenn man auf dem einen Schenkel eines Winkels gleiche Stücke abschneidet und durch die Teilpunkte Parallele an den andern Schenkel zieht, so schneiden diese auch auf dem andern Schenkel gleiche Stücke ab. Parallelen zwischen den Schenkeln eines Winkels schneiden auf denselben proportionale Stücke ab. Zwei Figuren heissen ähnlich, wenn sie gleichwinklig sind und die[4] in gleicher Ordnung zwischen gleichen Winkeln liegenden Seiten dasselbe Verhältnis zu einander haben. In ähnlichen Dreiecken sind die[5] den gleichen Winkeln gegenüber liegenden Seiten proportional. Die Umfänge ähnlicher Figuren verhalten sich[6] wie zwei ähnlich liegende Seiten, ihre Inhalte aber wie die Quadrate ähnlich liegender Seiten. Wenn in einer Proportion die beiden innern Glieder gleich sind, wie in 2:6=6:18, so heisst eines der gleichen mittlern Glieder die mittlere Proportionale oder das geometrische Mittel der beiden äussern. Das Perpendikel von einem beliebigen Punkte der Peripherie eines Kreises auf den Durchmesser ist die mittlere Proportionale zwischen den beiden Abschnitten des Durchmessers. Die[7] vom Scheitel des rechten Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks auf die Hypotenuse gefällte Senkrechte ist das geometrische Mittel zwischen den Abschnitten der Hypotenuse. Jede der beiden Sehnen ist die mittlere Proportionale zwischen dem anliegenden[8] Abschnitt des Durchmessers und dem ganzen Durchmesser. Jede Kathete ist das geometrische Mittel zwischen dem anliegenden Abschnitt der Hypotenuse (begrenzt durch die Höhe auf derselben) und der Hypotenuse selbst. _Aufgabe._ Ein Quadrat zu zeichnen, welches so gross ist wie ein gegebenes Rechteck; mit anderen Worten, ein gegebenes Rechteck PBDE in ein an Inhalt gleiches Quadrat zu verwandeln. _Auflösung._ Es kommt nur darauf an,[9] zu den beiden gegebenen Seiten des Rechtecks PE und PB die mittlere Proportionale x zu finden, so dass PE:x=x:PB, denn dann ist x²=PE.PB. [Illustration]